La Linea Recta

Pendiente y ángulo de inclinación:
 
En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal (la tangente inversa del valor de la "m" es el ángulo en radianes).
P, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.

Definición de la pendiente
 
La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en cálculo para representar un cambio o diferencia).
Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

Donde m representa la pendiente entre el punto 1 y el punto 2. La cual representa la razón de cambio de y respecto a x, es decir si (x) se incrementa en 1 unidad, (y) se incrementa en (m) unidades.
Si la pendiente (m)es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano.

Angulo de Inclinacion 

Un ángulo formado por una línea horizontal y una línea de visión por arriba de ella que mide menos de 90 grados. La inclinación de una recta cualquiera (que no sea paralela al eje X) es el ángulo menor que la recta forma con la dirección positiva del eje X, y se mide desde el eje X hacia la recta, en el sentido contrario a las manecillas del reloj. El valor de los catetos del triángulo rectángulo formado se determina por diferencia de segmento como en el tema anterior.

Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad

Paralelismo y perdendicularidad, son dos factores que dentro de cualquier aspecto de la matemática son importantes.. No solo en ésta, en contextos más sociales también ya que son el reflejo de ciertos factores en la naturaleza.

Por ejemplo, consideramos como (Paralelismo) aquella relación que establece que un objeto geométrico lineal con perspectiva dimensional (Unidimensional o mayor) no se intersecta con otro objeto del mismo estilo. 

                                        

(Perpendicularidad) aquella relación opuesta al (Paralelismo) de tal manera que los objetos geométricos si se intersectan entre sí, formando un ángulo de (90 grados sexagesimales).
                   

Ecuacion de la Recta

La ecuación explícita de una recta tiene la forma y=mx+n donde m es la pendiente de la recta y n el término independiente. En el siguiente ejercicio te proponemos, que bien conociendo la pendiente m y un punto P por el que pasa determines m y n, o bien conociendo dos puntos determinar m y n. Recuerda que si tienes dos puntos puedes sustituirlos en la ecuación y plantear un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas (m y n). 

                       


















Distintas Formas de la Ecuacion de la Recta

1.-Ecuacion de la Recta que pasa por el Origen    

Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x  

Tómese sobre la recta los puntos P₁(x₁, y₁),P₂ (x₂, y₂) y P₃ (x_3, y₃). Al proyectar los puntos P_1, P₂ y P₃ sobre el eje x, se obtienen los puntos P’₁, P’₂, P’₃.
Como los triángulos OP₁P’₁, OP₂P’₂ y OP₃P’₃ son semejantes; se tiene que: 
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)
 
La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.



2.- Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b

Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas 
P’’(x, Y), Y  y.
 

Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx

Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo.

Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que:

Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b.

Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b

La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

Ecuación de la recta en la forma normal

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:

= (x - a₁, y - a₂)

El vector es un vector unitario y perpendicular a r.

Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B).

Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán

Como y son perpendiculares, su producto escalar es cero:

Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos:

Forma Polar de la Ecuacion de la Recta

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. 


Ángulo de intersección entre dos rectas

Sean l₁ y l₂ dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q₁ y q₂ respectivamente. Al cortarse las rectas l₁ y l₂ forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: b₁ = b₂ = q₁ – q₂ y  a₁ = a₂ = 180⁰ - b₁.

Se define el ANGULO entrel₁ y l₂ como  el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l₂ hacia l₁ . En este caso, el ángulo entre l₁ y l₂ viene dado por:  

b₁ = q₁ - q₂ (1)

El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.De la igualdad (1) se tiene:

tan b₁ = tan (q₁ - q₂)

,  (2)


Familias de rectas 

La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se llama familia o haz de rectas, ésta definición es útil para hallar la ecuación de una recta en particular. La familia de rectas se clasifica en tres grupos los cuales son:

FAMILIAS DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA.
Si la ecuación de la recta dada es Ax+By+C=0 y su pendiente es m=-A/B, entonces el conjunto de rectas L1 y que son paralelas a L2 tendrán por ecuación y=mx+b, por el criterio de paralelismo.
Y=-A/Bx+b entonces Ax+By+Bb
Si sustituimos la cantidad constante B por el parámetro K tendremos la ecuación de la familia de rectas paralelas a L1
L1: Ax+By+K=0

FAMILIA DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA.
Si conocemos la recta L1:Ax+By+C=0 con pendiente m=-A/B y si y=mx+b es cualquiera de las rectas, L1 entonces por el criterio de perpendicularidad su ecuación será de la forma:
Y=B/Ax+b entonces L1=Bx-Ay+Ab=0
Si sustituimos por el producto Ab por el parámetro K obtenemos:
L1:Bx-Ay+K=0

FAMILIA DE RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS.
El conjunto de rectas pueden ser 1,2,3……..n, que pasan por un punto se la llama también familia de rectas con centro P.
Si:
L1:Ax1+By1+C1 Y L2:A2x+B2y+C2=0
Son las rectas dadas que cortan en el centro P, la ecuación:
L1: α(A1x+B1y+C)+β(A2x+B2y+C2)=0

Multiplicando a la primera recta por α y a la segunda recta por β y a este resultado lo dividimos por α y si suponemos que β/α=K tendremos:
A1x+B1y+C1+K(A2x+B2y+C2)=0
Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta de la familia con centro P. El parámetro K es una constante para cada miembro de la familia que varía de recta en rec 

Aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta

Consideramos como (Forma general de la ecuación de la recta) aquella ecuación que se encuentra dictada de la siguiente manera:

Cuya construcción puede sustentarse, bajo la base de otras ecuaciones como lo son, la:

- Ecuación continua de la recta.
- Ecuación de Hesse.

Entre otras… Generalmente se construye a base de la (Ecuación continua) mediante la siguiente, demostración:

Sea la ecuación continua de la recta:

Donde (V1 y V2) constituyen a coordenadas de un (Vector director).

De acuerdo a las (Propiedades de igualación en ecuaciones) deducimos que:

Ordenamos términos de acuerdo a subíndice e igualamos con respecto a cero, deduciendo los correspondientes coeficientes (A,B,C) de la ecuación general:

Dicha forma es llamada así misma como (Ecuación implícita de la recta) por el concepto que no esta dispuesta con respecto a una variable como es posible observar en el caso de la (Ecuación explícita de la recta) sino que ambas variables en este caso (x,y) se encuentran sobre un mismo miembro.

La pendiente de la recta generalmente es establecida como el cociente:

Rectas y puntos notables de un triángulo

En un triángulo se definen cuatro tipos de rectas denominadas, genéricamente, rectas notables. Esas rectas son: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas. En un triángulo tendremos tres rectas de cada tipo.

Los puntos de intersección de dichas rectas se denominan puntos notables y son, respectivamente: circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro. 

 Las rectas son:

LA MEDIANA
Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

LA MEDIATRIZ
Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a un lado del triángulo trazadas por su punto medio.

LA ALTURA
Las alturas de un triángulo son cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

LA BISECTRIZ
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.

Los puntos son:

BARICENTRO
Es el punto de corte de las tres medianas de un triángulo.

CIRCUNCENTRO
Es el punto de corte de las tres mediatrices.

ORTOCENTRO
Es el punto de corte de las tres alturas.

INCENTRO
Es el punto de corte de las tres bisetrices.